Con l’algebra booleana, Davis dice, si va oltre la logica Aristotelica, ma si è ancora lontani da quello che avrebbe voluto realizzare Leibniz. Solo Frege riuscirà con un lavoro analogo a quello di Boole a trovare un alfabeto che permetta di formalizzare ogni tipo di frase.
L’opera in cui Frege espone la formalizzazione matematica del pensiero, proprio come avrebbe desiderato Leibniz, è l’Ideografia1 (titolo originale in tedesco Begriffsschrift) la cui importanza possiamo rilevare già dal sottotitolo: Linguaggio in formule del pensiero puro modellato su quello dell’aritmetica.
Martin Davis scrive:
mentre per Boole le correlazioni fra proposizioni potevano essere espresse a loro volta da proposizioni («secondarie»), Frege comprese che queste correlazioni potevano essere usate anche per analizzare la struttura di una singola proposizione, e ne fece il fondamento della sua logica.2
Così possiamo analizzare la singola proposizione “Tutti gli uomini sono mortali” usando la relazione logica dell’inferenza se…allora… e rileggerla come “Se x è uomo, allora x è mortale”. Questa proposizione può essere scritta ancora più stenograficamente (e ancora in modo che assomigli ad una vera e propria formula matematica):
(∀x)(u(x) → m(x))
dove:
∀ è il simbolo che sta per il quantificatore universale che può essere letto come “Tutti” o “Per ogni”;
u() rappresenta la proprietà “uomo” che x deve avere;
→ è il simbolo che in logica indica la relazione di inferenza se… allora…;
m() rappresenta la proprietà “mortale” che x deve avere;
In questo modo Frege costruiva quello che Davis considera l’antenato degli odierni linguaggi di programmazione, infatti nell’Ideografia veniva descritto minuziosamente un linguaggio artificiale con tanto di regole grammaticali.
Grazie a questo linguaggio era possibile presentare le inferenze logiche in un modo meccanico, dove tutto dipendeva dalla disposizione dei simboli.
Questa formalizzazione però non permette di ricavare con certezza se una conclusione segua in generale da certe premesse o meno, e per questo ancora non è possibile quel calculus ratiocinator leibniziano.
